Trọng tâm tam giác là gì?

Tam giác là dạng hình học cơ bản nhất mà các bạn thường xuyên gặp trong các đề thi kiểm tra môn hình học. Từ 3 đỉnh của tam giác chúng ta có thể vẽ được nhiều loại đường đi đường trung bình, đường cao, đường phân giác… Vậy trọng tâm của tam giác là gì? hãy cùng thuvienhoidap.net tìm hiểu chủ đề toán học này nha.

Định nghĩa trọng tâm tam giác là gì?

a – Định nghĩa

  • Trọng tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến trong tam giác đó.
  • Trong đó, đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện của tam giác. Trong một tam giác có tối thiểu 1 đường trung tuyến và tối đa 3 đường trung tuyến.
  • Hay trọng tâm của tam giác là điểm đồng quy của các đường trung trực của tam giác đó.
  • Trọng tâm của một tam giác được tạo thành khi ba trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm.

Trọng tâm tam giác đều là gì? Trọng tâm tam giác vuông cân là gì? Trọng tâm tam giác vuông là gì?

Theo định nghĩa ở trên thì bất kỳ loại tam giác nào như tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác cân thì trọng tâm của tam giác đó cũng là giao điểm của 3 đường trung tuyến.

b – Định lý liên quan đến trọng tâm của tam giác

  • Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. 
  • Ta cũng có thể suy ra được độ dài từ giao điểm của 3 đường trung tuyến tới trung điểm 1 cạnh trong tam giác bằng 1 / 3 độ dài đường trung tuyến đi qua cạnh đó.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:

  • Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:
  • GA /GD = BG/BE = CG/CF = 2/3

c – Trọng tâm tam giác có tính chất gì?

  • Trọng tâm của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
  • Trọng tâm tam giác phải luôn nằm bên trong của tam giác đó.
  • Khoảng cách từ trọng tâm tới đỉnh của 3 đường phân giác = 2/3 độ dài các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng.
  • Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh tương ứng.

d – Công thức tính trọng tâm của tam giác 

Cho tọa độ điểm A (x1, y1) 

Tọa độ điểm B (x2, y2)

Tọa độ điểm C (X3, Y3)

Trọng tâm của tam giác G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Tham khảo thêm: Đường trung bình của tam giác là gì

Bài tập trọng tâm của tam giác

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của nó. Trên tia AG lấy điểm D sao cho G là trung điểm của đoạn AD. Chứng minh rằng tam giác BGD là tam giác đều.

Bài tập trọng tâm tam giác - 1

Đáp án bài tập 1:

Ta có, trong tam giác đều các đường trung tuyến là phân giác do đó: 

Góc A1 = góc B1 = góc A / 2 = 30°, vì tam giác ABC cân tại G.

= > GA = GB

Mà GA = GD

 => GB = GD

Vậy tam giác GBD cân tại G.

Ta có góc G1 = góc A1 + góc B1 = 30° + 30° = 60°

Tam giác GBD cân tại G và góc G = 60°

Vậy tam giác GBD là tam giác đều

Bài tập 2: Cho G là trọng tâm của tam giác DEF, với đường trung tuyến DH, trong các khẳng định sau đây, khằng định nào đúng?

DG /DH = 1/2 ; DG/GH = 3 ; GH/DH = 1/3 ; GH/DG = 2/3

Đáp án bài tập 2:

Ta có thể khẳng định GH/DH = 1/3 là khẳng định đúng và các khẳng định còn lại đều sai.

Bài tập 3: Cho hình bên, hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a ) MG = …MR ; GR = … MR ; GR = … MG

b ) NS = … NG ; NS = …GS; NG = …GS

Bài tập trọng tâm tam giác - 3

Đáp án bài tập 3

Câu a:

  • MG = 3/2MR
  • GR = 1/3MR
  • GR = 1/2MG

Câu b:

  • NS = 3/2NG
  • NS = 3GS
  • NG = 2GS

Bài tập 4: Biết rằng trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm.

Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài tập trọng tâm tam giác - 4

Đáp án bài tập 4:

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 

= > BC = 5cm

Mà AM = BC/2 = 5/2cm

Ta có AG = 2/3AM = 2/3.5/2 = 5/3 cm

Bài tập 5: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a ) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI

b ) Các góc DIE và dóc DIF là những góc gì?

c ) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Bài tập trọng tâm tam giác - 5

Đáp án bài tập 5:

Câu a

Vì DI là đường trung tuyến nên IE = IF

Xét hai tam giác DEI và DFI ta có

  • DE = DF ( gt)
  • Góc E = góc F (gt)
  • IE = IF  (cmt)

= > ∆DEI = ∆DFI

Câu b:

Vì ∆DEI = ∆DFI = > Góc DIE =  góc DIF

Mà góc DIE và góc DIF là hai góc kề bù nên góc DIE + góc DIF = 180°

Hay 2 lần góc DIE = 180° = > góc DIE = 90°

Câu c:

Theo chứng minh được ở câu b thì tam giác DEI vuông ở I nên:

DE = 13cm, EI = EF/2 = 5cm

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông DEI ta có:

DE2 = DI2 + IE2 = > DI2 = DE2 – IE2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144

 => DI = 12cm

Kết luận: Đây là đáp án cho câu hỏi trọng tâm tam giác là gì chi tiết và đầy đủ nhất

Back to top button